四面体$\mathrm{OABC}$の$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．$\mathrm{OP}=\mathrm{PA}$，$\mathrm{AQ}=2 \mathrm{QB}$とし，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}$とは異なるものとする．$\triangle \mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の延長上に$\mathrm{AB}=\mathrm{BD}$となる点$\mathrm{D}$がある．同様に，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$となる点$\mathrm{E}$が，辺$\mathrm{CA}$の延長上に$\mathrm{CA}=\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{F}$がそれぞれある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{GE}$と線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{FD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．このとき，次の比を求めよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$
(2)$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$
(3)$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を共通の比$m:n$に内分する点を，それぞれ，$\mathrm{R}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$は，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$で$\mathrm{AB}=1$の直角二等辺三角形である．この$\triangle \mathrm{ABC}$の中に下図のように長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$をおき，頂点$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{Q}_1$が線分$\mathrm{AB}$上に，頂点$\mathrm{P}_4$と$\mathrm{Q}_4$が線分$\mathrm{AC}$上にあるようにする．さらに，頂点$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_3$がともに線分$\mathrm{BC}$上に，頂点$\mathrm{Q}_2$と$\mathrm{Q}_3$がともに線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$上にあるようにする．$x=\mathrm{BP}_2$，$y=\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)$x$の値を固定して$y$の値を変化させるとき，長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和の最大値を$S(x)$とおく．このとき，$S(x)$を，$x$を用いて表せ．
(3)$x$の値を変化させるとき，$(2)$で求めた$S(x)$の最大値を求めよ．

直線$L$を$2x+y=4n$とする．ただし，$n$は自然数とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)直線$M$を$x=k$（ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$）とするとき，直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の直線$M$上の格子点（$x$座標および$y$座標がともに整数である点）のうち，三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ．
(5)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ．また，$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]

半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

$\alpha$を実数でない複素数とし，$\beta$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数$w$に対してその共役複素数を$\overline{w}$で表す．

(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．

空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．