座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}$を$C$とし，$a$を$2$より小さい実数とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$から$C$に引いた異なる$2$つの接線の接点を各々$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{p^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{q^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$とする．ただし，$p<q$とする．

(1)$p$および$q$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\angle \mathrm{PAQ} \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$a=1$のとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の外接円の半径$R$を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{N}$，直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{AN}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{OB}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と円$C:x^2+y^2=1$があり，$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$y$座標はともに正であり，$3$点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の順に並んでいるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とするとき，$S_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{POQ}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標と$S_1$を求めよ．

$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．