$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

$3$辺の長さが$2,\ 3,\ 4$の三角形について次の問いに答えよ．

(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を正の実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である三角形のなかで，面積が最大である三角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．
(2)$2$辺の長さが$1$，他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である四角形のなかで，面積が最大である四角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，平面$\alpha$に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{n}=(n_1,\ n_2,\ n_3)$とする．ただし，$n_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$を求めよ．
(2)平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_1S$であることを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{D}$があって，三角形の面積比が
\[ \triangle \mathrm{DBC}:\triangle \mathrm{DCA}:\triangle \mathrm{DAB}=p:q:r \]
であるとする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$，直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}$および$\mathrm{CT}:\mathrm{TA}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}+r \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{p+q+r}$となることを示せ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5)正四面体の体積$V$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$が$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2$，$\angle \mathrm{AOB}={60}^\circ$を満たすとする．また，$k$を実数とし，辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{M}$を$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$と定める．さらに，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$k$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2$となる$k$の値を求めよ．