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大分大学 国立 大分大学 2015年 第2問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする.

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき,$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき,$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい.
(3)直線$\mathrm{AR}$,$\mathrm{BQ}$,$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき,$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第1問
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2015年 第1問
直交座標の原点$\mathrm{O}$を極とし,$x$軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\ \theta)$を考える.この極座標で表された$3$点を$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{\pi}{3} \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{2 \pi}{3} \right)$,$\displaystyle \mathrm{C} \left( 3,\ \frac{4 \pi}{3} \right)$とする.

(1)点$\mathrm{A}$の直交座標を求めよ.
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心と半径を求めよ.ただし,中心は直交座標で表せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり,下図のように線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.辺$\mathrm{DE}$,$\mathrm{BF}$の中点を,それぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ.
(2)$\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする.$\cos \theta$の値を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ.
(4)三角錐$\mathrm{FGMN}$において,三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ.
(5)三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第1問
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第1問
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第2問
下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある.辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る.また,$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす.$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として,以下の問いに答えよ.

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ.
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ.
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ.
(図は省略)
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第3問
$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし,さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第1問
$1$辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし,さらに$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第1問
下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある.辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る.また,$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす.$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として,以下の問いに答えよ.

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ.
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ.
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ.
(図は省略)
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