「三角形」について
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国立 熊本大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 九州工業大学 2015年 第2問座標平面上に原点を中心とする半径$1$の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$があり，点$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線$\ell$を考える．直線$\ell$は円$C$と異なる$2$点で交わるものとし，点 $\mathrm{A}$から遠い方の交点を$\mathrm{P}$，近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 香川大学 2015年 第1問図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
国立 九州工業大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする．すなわち，点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAB}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点である．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$\triangle \mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．
(3)直線$\mathrm{AR}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．