次の各問について，答を$[　]$内に記入せよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$1$で，その中心$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$内にあるとする．$\displaystyle \angle \mathrm{BAO}=\frac{\pi}{6}$，$\displaystyle \angle \mathrm{CAO}=\frac{\pi}{4}$のとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[イ]$である．
(2)$1$から$5$までの数字が書かれた玉が，その数字と同じ個数だけ袋に入っている．この袋の中にある$15$個の玉の中から，$3$個の玉を同時に取り出す．玉に書かれた数字の最大値が$4$以下である確率は$[ウ]$であり，玉に書かれた数字の最大値がちょうど$4$である確率は$[エ]$である．

$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．

下図のように，$\mathrm{AB}=63$，$\mathrm{BC}=52$，$\mathrm{CA}=25$である三角形に内接する長方形を作る．このような長方形の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）

複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．

(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

一辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=2:1$，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=3:2$となるように点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めよ．

複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$があり，
\[ \beta=(1-i) \alpha \]
を満たしている．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

三角形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とおく．表と裏の出現確率が等しいコインを投げ，表が出たら時計回りに隣り合う次の頂点へ，裏が出たら反時計回りに隣り合う次の頂点へ移動する試行を繰り返し行う．たとえば，頂点$\mathrm{A}$にいてコインの裏が出たならば，頂点$\mathrm{B}$へ移動することになる．

頂点$\mathrm{A}$から移動を開始するとき，$n$回の試行の後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$P_n(\mathrm{A})$とする．このとき，以下の各問に答えよ．ただし，$n$は$n \geqq 1$である整数とする．

(1)$P_1(\mathrm{A})$を求めよ．
(2)$P_4(\mathrm{A})$を求めよ．
(3)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})$を$P_{n-1}(\mathrm{A})$の式で表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$P_n(\mathrm{A})-P_{n-1}(\mathrm{A})$を$n$の式で表せ．
(5)$P_n(\mathrm{A})$を求めよ．