「三角形」について
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私立 中京大学 2016年 第1問$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{H}$を$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$となるようにとる．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{HC}=\frac{\sqrt{[エ]}-\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
私立 岡山理科大学 2016年 第1問$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 1,\ 2)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
私立 岡山理科大学 2016年 第2問$a$は定数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(a-1,\ (a-1)^2)$について，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
私立 岡山理科大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．
私立 広島工業大学 2016年 第2問中心$\mathrm{O}$，半径$2$の円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，$\mathrm{CD}$をこの円の直径とし，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{p}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め，$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．
(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め，$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．
私立 広島工業大学 2016年 第6問四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角二等辺三角形，$\triangle \mathrm{ACD}$は正三角形である．$\mathrm{AC}=1$のとき，次の問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(4)$(3)$を用いて，$\displaystyle \cos {105}^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$を示せ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(4)$(3)$を用いて，$\displaystyle \cos {105}^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$を示せ．
私立 福岡大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$内に点$\mathrm{P}$があり，直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点は辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分し，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すと$(s,\ t)=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$\cos \angle \mathrm{PAB}=[ ]$である．