「三角形」について
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私立 広島工業大学 2010年 第4問平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OC}=1$とし，$\angle \mathrm{AOC}$は鋭角とする．また，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}=t$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．ただし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする．
(3)三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき，$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．ただし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする．
(3)三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき，$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ．
公立 首都大学東京 2010年 第2問長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A} = \mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n = \mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
公立 愛知県立大学 2010年 第4問原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．
(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．
公立 兵庫県立大学 2010年 第2問図のような$\mathrm{OA}=m,\ \mathrm{OB}=n$である三角形$\mathrm{OAB}$が \\
ある．辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{C}$とする． \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を \\
$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=k$とする．以下の問いに答えなさい．
\img{562_2720_2010_1}{32}
(1)$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(2)内積$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c})$と$(\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c})$を$k,\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(3)$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$であることを示しなさい．
ある．辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{C}$とする． \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を \\
$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=k$とする．以下の問いに答えなさい．
\img{562_2720_2010_1}{32}
(1)$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(2)内積$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c})$と$(\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c})$を$k,\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(3)$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$であることを示しなさい．
公立 岡山県立大学 2010年 第3問Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2010年 第3問座標平面上にO$(0,\ 0)$，A$(20,\ 0)$，B$(20,\ 10)$，C$(0,\ 10)$を頂点とする長方形がある．点PはAを出発して，辺AB上を毎秒1の速さでBに向かって進み，点Qは，点Pと同時にBを出発して，辺BC上を毎秒2の速さでCに向かって進む．以下の問に答えよ．
(1)点PがBに達するまでに，$\triangle$OPQの面積が最小になるのは，出発してから何秒後か．また，その最小の面積を求めよ．
(2)点PがBに達するまでの$\triangle$OPQの重心の軌跡を求めよ．
(1)点PがBに達するまでに，$\triangle$OPQの面積が最小になるのは，出発してから何秒後か．また，その最小の面積を求めよ．
(2)点PがBに達するまでの$\triangle$OPQの重心の軌跡を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$について，$\mathrm{OA}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{AB}=2$とする．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$に関して$\mathrm{L}$と対称な点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
公立 大阪府立大学 2010年 第2問空間の3点A，B，Cは同一直線上にはないものとし，原点をOとする．空間の点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,\ y,\ z$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする．
(1)直線APと直線BCは交わり，その交点をDとすれば，DはBCを$z:y$に内分し，PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ．
(2)$\triangle$PAB，$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば，
\[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \]
が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする．
(1)直線APと直線BCは交わり，その交点をDとすれば，DはBCを$z:y$に内分し，PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ．
(2)$\triangle$PAB，$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば，
\[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \]
が成り立つことを示せ．
公立 県立広島大学 2010年 第1問大小二つのサイコロを同時に振り，大きいサイコロの出た目を$a$，小さいサイコロの出た目を$b$とする．次の確率を求めよ．
(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率
(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率
公立 県立広島大学 2010年 第2問三角形OABにおいて，
\[ \text{AB}=4,\ \text{OA}=5,\ \text{OB}=6,\ \angle \text{AOB}=\theta,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \]
とする．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)$t$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
\[ \text{AB}=4,\ \text{OA}=5,\ \text{OB}=6,\ \angle \text{AOB}=\theta,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \]
とする．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)$t$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．