「三角形」について
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私立 北海道科学大学 2010年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 北海道科学大学 2010年 第11問図の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{AD}=2,\quad \mathrm{AE}=1 \]
とし，$\angle \mathrm{DEB}=\theta$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BD},\ \mathrm{DE},\ \mathrm{EB}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BDE}$におろした垂線の長さを求めよ．
私立 東北工業大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$9,\ 6,\ 5$とする．また，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にはそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さはすべて等しく，その値が$a$であるとする．このとき，
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[ ]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[ ]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[ ]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{2}}{3}$になる．
私立 獨協医科大学 2010年 第3問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 星薬科大学 2010年 第2問下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[ ]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 東京電機大学 2010年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
私立 東京電機大学 2010年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第3問放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第2問空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$を考える．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．