底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある．底面の辺の長さを$a$，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=\text{OE}=\text{OF}=2a$とする．2つの面$\triangle$OABと$\triangle$OBCのなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

$t$を実数とする．$2$つの放物線

$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$

の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)整数$a,\ b$が$2a+3b=42$を満たすとき，$ab$の最大値は$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=\sqrt{2}$とし，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とする．正の整数$m,\ n$が$m\alpha + n\beta = \pi$を満たすとき，$m=[イ]$，$n=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件を満たしている．

(i) $\{a_n\}$は等差数列で，その公差は$0$ではない．
(ii) $a_1=1$
(iii) 数列$a_3,\ a_6,\ a_{10}$は等比数列になっている．

このとき数列$\{a_n\}$の第$2010$項までの和$\displaystyle \sum_{n=1}^{2010}a_n$の値は$[エ]$である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$を満たす．このような四面体の体積のとり得る最大値は$[オ]$である．

次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ -4)$がある．直線$y=x$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ク],\ [ケ])$である．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標は$([コ],\ [サシス])$である．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積は$[セ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積は$[ソタ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=9$のとき，$\cos A$および$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=9$のとき，$\cos A$および$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$B=45^\circ,\ C=60^\circ$とする．$3$頂点A，B，Cの対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき，$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

次の各問いに答えよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-10<0 \\
2x^2-15x+7 \geqq 0
\end{array} \right.$を解け．

(2)方程式$(\log_2x)^3-3(\log_2x)^2-4 \log_2x=0$を解け．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{A}=45^\circ$，$\angle \mathrm{B}=75^\circ$とするとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．また，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$であることを用いて，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$と，$\tan^2 75^\circ$の値を求めよ．