$a$を1より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$をとる．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$と，曲線$\displaystyle y=\frac{a}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{a}{q} \right)$が，3条件

(1)$p>0,\ q>0$
(2)$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は3に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が$\displaystyle \frac{3}{4}$となるような$a$の値を求めよ．

実数$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\cos 2\theta & \sin 2\theta \\
-\sin 2\theta & \cos 2\theta
\end{array} \right) \]
とする．また，実数$k \ (k>0)$に対して，$x,\ y$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
0 \\
k
\end{array} \right) \]
を満たす．そして，$x,\ y,\ k$を用いて座標平面上の2点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(0,\ k)$を定める．原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k,\ \tan \theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V(\theta)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$V(\theta)$について，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{\theta}{2\pi}V(\theta)$を求めよ．

平面上に大きさが1のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさが2のベクトル$\overrightarrow{b}$があり，そのなす角が$60^\circ$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \ (k \neq -1)$となる$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{C}$を通る直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

4辺の長さが$\mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．$\mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．

次の問いに答えよ．

(1)恒等式$\displaystyle \frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}=x^3+y^3+z^3-3xyz$が成り立つことを示せ．
(2)$a \geqq 0,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは$a=b=c$のときであることを示せ．
(3)一辺の長さがそれぞれ$a,\ b,\ c$の三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられることが知られている．ただし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とする．三辺の長さの和が$2s \ (s>0)$であるような三角形の面積は$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$以下であることを示せ．また，面積が$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$となるのは，三角形が正三角形のときであることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right)$と点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{X}_0(1,\ 0)$がある．行列$A$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_1$へ移り，行列$A^2$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_2$へ移るものとする．以下同様に正の整数$n$について，行列$A^n$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_n$へ移るものとする．

(1)行列$A$は，$\alpha>0$と$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を使って$A=\alpha \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と変形できる．$\alpha$と$\theta$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1$の面積$S_1$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$の面積$S_2$を求めよ．
(4)$1 \leqq n<12$とする．線分$\mathrm{OX}_0$，$\mathrm{X}_0 \mathrm{X}_1$，$\cdots$，$\mathrm{X}_{n-1} \mathrm{X}_n$，$\mathrm{X}_n \mathrm{O}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を使って表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$またはその延長上に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．次を証明せよ．

(1)$\angle \mathrm{LHN}=\angle \mathrm{A}$
(2)$4$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{H}$は同一円周上にある．

三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$となるための条件を$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$と内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$かつ$|\overrightarrow{a}|=1$のとき，$|\overrightarrow{b}|$のとりうる値の範囲を求めよ．

$x$-$y$平面上の$3$点を
\[ \mathrm{A}(0,\ 9),\quad \mathrm{B}(-3,\ 0),\quad \mathrm{C}(2,\ 0) \]
とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=[　]:[　]$である．
(2)$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{AFC}$の面積は，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$\displaystyle\frac{[　]}{[　]}$である．

関数$f(x)$は次の等式を満たす．
\[ f(x) = \int_{-1}^1 xf(t)\, dt + 1 \]
次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと，点P$(0,\ p)$を中心とする半径$1$の円が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$p$が取り得る値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(4)(2)において，$\angle \mathrm{APB} = \displaystyle\frac{2\pi}{3}$となるような$p$の値を求めよ．