「三角形」について
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国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．
(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2010年 第3問座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2010年 第2問$\triangle$OABの面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=x,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=y,\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=z$のとき，$S$を$x,\ y,\ z$の式で表せ．
(1)$\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=x,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=y,\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=z$のとき，$S$を$x,\ y,\ z$の式で表せ．
国立 大阪教育大学 2010年 第1問平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
国立 茨城大学 2010年 第1問$\triangle$ABCにおいて$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle$ABCの面積を$S$とするとき，以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sin A,\ \sin B,\ \sin C,\ \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$を$a,\ b,\ c,\ S$で表せ．
(3)$a \geqq b \geqq c$ならば，$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$となることを示せ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sin A,\ \sin B,\ \sin C,\ \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$を$a,\ b,\ c,\ S$で表せ．
(3)$a \geqq b \geqq c$ならば，$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$となることを示せ．
国立 福島大学 2010年 第3問曲線$C:y=x^3+2ax^2+bx$と直線$\ell:y=ax$が$x \geqq 0$で定義されており，原点以外でこれらの曲線$C$と直線$\ell$が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，$a \neq 0$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる面積を$S_1$，これら二つの共有点と点$(0,\ -1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．
(1)曲線$C$と直線$\ell$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる面積を$S_1$，これら二つの共有点と点$(0,\ -1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．
国立 茨城大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．