一辺の長さが$2s$である正三角形$\mathrm{ABC}$の3つの頂点を$\mathrm{A}(-s,\ 0)$，$\mathrm{B}(s,\ 0)$，C$(0,\ \sqrt{3}s)$とする．$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2=t$であるような点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．

(1)このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s,\ t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\triangle \mathrm{ABC}$とともに図示せよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=6$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(3)$x$が実数全体を動くとき，$|(2+x)\overrightarrow{a}+(1-x)\overrightarrow{b}|$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

$3$辺が$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=6,\ \mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{OB} \perp \mathrm{AD}$を示しなさい．

平面上に円$S$と6点A，B，C，D，E，Fがある．A，B，Cは$S$上の異なる3点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分ABをAの側に延長した半直線上に点Dがある．$\angle \text{CAD}$を二等分する直線$\ell$と円$S$は異なる2点で交わり，それらはAとEである．さらに，EはCを含まない$S$上の弧AB上にある．また，$\ell$は線分BCをCの側に延長した半直線と交わり，その交点がFである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)題意にしたがって，円$S$，三角形ABCおよび点D，E，Fを描け．
(2)三角形ACFと三角形AEBが相似であることを証明せよ．
(3)$\text{AB} \cdot \text{EF}=\text{EB} \cdot \text{BF}$となることを証明せよ．

曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点A$_0(0,\ 1)$における接線と$x$軸の交点をB$_1(b_1,\ 0)$とし，$C$上の点A$_1(b_1,\ e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点をB$_2(b_2,\ 0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点A$_n(b_n,\ e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点をB$_{n+1}(b_{n+1},\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．

右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
\img{177_2307_2010_1}{10}


(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．

下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点P$(s,\ t) \ (t>2)$から，円$x^2+(y-1)^2=1$に引いた2本の接線と$x$軸の交点をそれぞれQ$(\alpha,\ 0)$，R$(\beta,\ 0) \ (\alpha>\beta)$とする．点Pの$y$座標$t$を固定して$x$座標$s$を変化させるとき，$\alpha-\beta$の最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを$2:1$に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{AS}}|$の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点P$(x,\ y)$と点A$(0,\ a)$の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．

(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{A}$とする．$\triangle \mathrm{PQA}$において$\angle \mathrm{A}=90^\circ,\ \angle \mathrm{P}=60^\circ,\ \angle \mathrm{Q}=30^\circ$となるとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．