鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{B}$で接する円$C_1$の半径を$p$，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{C}$で接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．

$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(3,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 1)$がある．

(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

三角形OABにおいて，辺OAを$1:2$に内分する点をM，辺OBを$3:2$に内分する点をNとする．さらに，線分ANと線分BMの交点をXとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線OXと辺ABの交点をYとするとき，$\text{AY}:\text{YB}$を求めよ．
(3)三角形OABの面積を$S$とし，(2)のYに対して三角形MNYの面積を$T$とする．$S:T$を求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，次の等式が成立することを示せ．

(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

原点をOとする．$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．