「三角形」について
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国立 東京大学 2010年 第4問$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．
国立 東京大学 2010年 第1問Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2010年 第4問図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって， \\
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
\img{410_1079_2010_2}{45}
(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
\img{410_1079_2010_2}{45}
(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第2問鋭角三角形$\triangle$ABCにおいて，頂点Aを通り直線BCに点Bで接する円$C_1$の半径を$p$，頂点Aを通り直線BCに点Cで接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle$ABCの外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．
国立 筑波大学 2010年 第4問点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．
国立 高知大学 2010年 第2問三角形OABにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点CとDを$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{b}$によりそれぞれ定める．また，線分ADとBCの交点をEとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\text{AE}:\text{AD}=t:1 \ (0<t<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\text{BE}:\text{BC}=s:1 \ (0<s<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)OE，AB，CDの中点をそれぞれP，Q，Rとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \frac{\text{PR}}{\text{PQ}}$の値を求めよ．
(1)$\text{AE}:\text{AD}=t:1 \ (0<t<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\text{BE}:\text{BC}=s:1 \ (0<s<1)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)(1)と(2)を利用することにより，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)OE，AB，CDの中点をそれぞれP，Q，Rとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \frac{\text{PR}}{\text{PQ}}$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(25,\ 0)$，$\mathrm{B}(16,\ 12)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第4問2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．