座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

単位円上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$とする．単位円上の点$\mathrm{P}$が
\[ \triangle \mathrm{ABC} \text{の面積}:\triangle \mathrm{ABP} \text{の面積}=1:1+\sqrt{3} \]
をみたすとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．

曲線$y=e^{-x}$上の点$(1,\ e^{-1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_1,\ 0)$とする．次に，$y=e^{-x}$上の点$(a_1,\ e^{-a_1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_2,\ 0)$とする．以下，同様に$a_n (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を定める．次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と，直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{BC}=10$のとき，
\[ \sin A=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
で，$\mathrm{AB}$の長さは$[ウエ] \sqrt{[オ]}-[カ] \sqrt{[キ]}$，

$\mathrm{AC}$の長さは$[クケ] \sqrt{[コ]}-[サシ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$で，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$に対し，直線$\mathrm{AG}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．次の問題に答えよ．

(1)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．

座標空間の3点A$(1,\ 2,\ 2)$，B$(2,\ 1,\ 1)$，C$(2,\ 4,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．点D$(0,\ 2,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_1$とする．また点Dを通り，ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,\ -1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\ell_1$と$\alpha$の交点をEとし，$\ell_2$と$\alpha$の交点をFとする．E，Fの座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(3)$\triangle$DEFの面積を求めなさい．

座標空間を運動する$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の時刻$t$における座標をそれぞれ$(t,\ 0,\ t)$，$(\sqrt{2}t,\ 1-2t,\ \sqrt{2}(1-t))$，$(-t,\ -\sqrt{2}t,\ t)$とする．原点を$\mathrm{O}$と記すとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$における最大値を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．