次の問いに答えよ．

(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[　]}{[　]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[　]$であり，定数$a$の値の範囲は$[　] \leqq a<[　]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{[　]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{ACB}={90}^\circ$とし，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとり$\mathrm{AD}=x$とする．点$\mathrm{D}$から$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$へ，それぞれ垂線$\mathrm{DE}$，$\mathrm{DF}$を下ろす．

(1)長方形$\mathrm{DECF}$の面積を変数$x$を使って表せ．
(2)長方形$\mathrm{DECF}$の面積が最大となるときの面積と$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[　] \sqrt{[　]}-[　]}$

$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[　]+[　] \sqrt{2}+[　] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[　]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[　]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

$t$を実数とし，空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(5,\ 4,\ 7)$，$\mathrm{C}(t,\ t+2,\ 3t+5)$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるときの$t$の値を，小さい方から順にすべて書きなさい．

三角形$\mathrm{OAB}$は面積が$9 \sqrt{7}$で，$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=8$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は鈍角である．辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$があり，線分$\mathrm{OL}$上に点$\mathrm{N}$があって，
\[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \]
（ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[エオ]$である．

(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{[カ]}{[キ]} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{[コ]}{[サ]}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$


と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{[セ]}{[ソ]}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[　]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[　]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[　]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[　]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[　]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[　]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[　]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[　]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[　]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[　]$，$\mathrm{CA}=[　]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．

(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[　]$，$P_2=[　]$，$P_3=[　]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[　]$である．

(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[　] \overrightarrow{a}+[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[　]$である．

\end{mawarikomi}