次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき

$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$

$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$

である．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを入れよ．

行列$M$を$M=\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array} \right)$で定める．このとき
\[ M=\sqrt{2} \left( \begin{array}{cc}
\cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi & -\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi \\ \\
\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi & \cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi
\end{array} \right) \]
である．
次に$\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=M^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおき，点$(a_n,\ b_n)$を$\mathrm{P}_n$で表す．このとき点$\mathrm{P}_n$と原点$\mathrm{O}$との距離は$[ウ]^{\frac{n}{2}}$である．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \theta=\frac{[エ]}{[オ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
$3$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+2}$を頂点とする三角形の面積は$[カ] \times [キ]^{n-1}$である．
ただし
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array} \right) \]
となることは使ってよい．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad 2 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+k \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (k \text{は実数}) \]
を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であるとする．

(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$k$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$\triangle \mathrm{AQC}$の面積を求めよ．

$k$を正の定数とする．$3$つの直線
\[ \ell_1:y=kx,\quad \ell_2:y=-k^2x,\quad \ell_3:y=(k+1)x-3 \]
によって囲まれる三角形を考える．次の各問に答えよ．

(1)三角形の$3$つの頂点の座標を求めよ．
(2)三角形の面積を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=1$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$n$を整数とし，$L={|\displaystyle \frac{1|{4} \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}}}^2$を考える．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(2)$L$を$n$で表しなさい．
(3)$L$を最小にする整数$n$を求めなさい．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．