「三角形」について
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私立 自治医科大学 2011年 第8問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$a$，辺$\mathrm{AC}$を$b$，辺$\mathrm{AB}$を$c$とする．$b=2$，$c=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$のとき，$a^2$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{B}=2 \theta$，$\angle \mathrm{C}=\theta$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{CA}$と交わる点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．
(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第5問半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{1}{2}$とする．$\gamma$が$\gamma>0^\circ$かつ$\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．
(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2011年 第21問円周を$12$等分し，各点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$と表記する．$3$つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率を$p$とする．$55p$の値を求めよ．ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が$1$つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする．
私立 北海学園大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．
私立 北海学園大学 2011年 第4問三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$k:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$の延長が線分$\mathrm{OC}$と交わる点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の実数とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OE}:\mathrm{EC}$を$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$T$とするとき，すべての$k$に対して，$\displaystyle \frac{S}{T}<2$であることを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OE}:\mathrm{EC}$を$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$T$とするとき，すべての$k$に対して，$\displaystyle \frac{S}{T}<2$であることを示せ．
私立 自治医科大学 2011年 第24問放物線$C:f(x)=-x^2+x$について考える．$C$上の$2$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ f(a))$（$a>0$，$a$は実数）とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$が曲線$\mathrm{OA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPA}$の面積の最大値は，$\displaystyle \frac{a^3}{M}$となる．$M$の値を求めよ．（ただし，$0<t<a$，$t$は実数）
私立 明治大学 2011年 第2問曲線$C:y=x^2$上に，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{B}^\prime (-b,\ b^2)$が与えられている．ただし，$-b<a<0<b$とする．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[ ]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[ ]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[ ]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第4問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．
(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．
(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．