「三角形」について
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私立 早稲田大学 2011年 第2問正の定数$a,\ b,\ c$を用いて，$\triangle$ABCの内部の点Pは
\[ a\,\overrightarrow{\text{PA}} +b\, \overrightarrow{\text{PB}} +c\, \overrightarrow{\text{PC}} = \overrightarrow{0} \]
と表すことができる．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルである．\\
\quad 次の問に答えよ．
(1)直線APと辺BCの交点をQとする．
(2)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}=t:1-t$とおくと
\[ \overrightarrow{\text{PQ}} = [\maru{1]} \overrightarrow{\text{PA}} + [\maru{2]} \overrightarrow{\text{PB}} \]
\quad と表せる．\maru{1},\ \maru{2}にあてはまる$t$の式を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)線分の長さの比$\text{AP}:\text{PQ}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(5)面積の比$\triangle \text{PBC}: \triangle \text{PCA}: \triangle \text{PAB}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
\[ a\,\overrightarrow{\text{PA}} +b\, \overrightarrow{\text{PB}} +c\, \overrightarrow{\text{PC}} = \overrightarrow{0} \]
と表すことができる．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルである．\\
\quad 次の問に答えよ．
(1)直線APと辺BCの交点をQとする．
(2)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}=t:1-t$とおくと
\[ \overrightarrow{\text{PQ}} = [\maru{1]} \overrightarrow{\text{PA}} + [\maru{2]} \overrightarrow{\text{PB}} \]
\quad と表せる．\maru{1},\ \maru{2}にあてはまる$t$の式を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)線分の長さの比$\text{AP}:\text{PQ}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(5)面積の比$\triangle \text{PBC}: \triangle \text{PCA}: \triangle \text{PAB}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．
(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．
私立 明治大学 2011年 第1問以下の$[ア]$から$[ツ]$にあてはまる数字または式を記入せよ．
(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$
となる．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．
(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$
となる．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．
私立 金沢工業大学 2011年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする平面において，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とし，$\mathrm{OC}$を対角線とする平行四辺形$\mathrm{OACB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，それぞれのベクトルの大きさは
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
私立 上智大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \mathrm{BC}=4,\ \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{3},\ \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{5}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(2)$\displaystyle \sin B=\frac{[セ]}{[ソ]}, \sin C=\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(3)$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(2)$\displaystyle \sin B=\frac{[セ]}{[ソ]}, \sin C=\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(3)$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．
私立 上智大学 2011年 第3問$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問$\angle \text{A} > 90^\circ$である$\triangle$ABCの辺AB，AC上にそれぞれ頂点と異なる点P，Qをとる．このとき，$\text{PQ}<\text{BC}$であることを証明せよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問$\angle \text{A} > 90^\circ$である$\triangle$ABCの辺AB，AC上にそれぞれ頂点と異なる点P，Qをとる．このとき，$\text{PQ}<\text{BC}$であることを証明せよ．
私立 立教大学 2011年 第1問下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．
(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．
(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．
(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．
(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．
(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．
(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．