「三角形」について
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国立 東京海洋大学 2011年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$において，次を証明せよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の長さが等しくなるような$\pm 1$以外の実数$t$が存在することは$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$であるための必要十分条件である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直になるような$t<-1$である実数$t$が存在することは$\angle \mathrm{AOB}<90^\circ$であるための必要十分条件である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の長さが等しくなるような$\pm 1$以外の実数$t$が存在することは$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$であるための必要十分条件である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が垂直になるような$t<-1$である実数$t$が存在することは$\angle \mathrm{AOB}<90^\circ$であるための必要十分条件である．
国立 東京海洋大学 2011年 第2問$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$であるような$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} (0 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AF}:\mathrm{FD}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} (0 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AF}:\mathrm{FD}$を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{1}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{1}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
私立 早稲田大学 2011年 第5問$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2011年 第6問図のように，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$9$角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$から，長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き，それらの交点を$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\cdots$，$\mathrm{B}_9$とする．これらの点を$\mathrm{A}_1 \to \mathrm{B}_1 \to \mathrm{A}_2 \to \mathrm{B}_2 \to \cdots \to \mathrm{A}_9 \to \mathrm{B}_9 \to \mathrm{A}_1$の順に線分で結んでできた図形を星型$S$とよぶ．ここで，$\tan 10^\circ=a$とするとき，$\triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1$の辺$\mathrm{OA_1}$を底辺としたときの高さを$h$とすると
\[ h=\frac{[ナ]a}{[ニ]-a^{[ヌ]}} \]
である．よって，星型$S$の面積は$[ネ]h$である．
（図は省略）
\[ h=\frac{[ナ]a}{[ニ]-a^{[ヌ]}} \]
である．よって，星型$S$の面積は$[ネ]h$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2011年 第4問点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する線分の長さの最大値と最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第1問曲線$y=\log_4x$上に，その$x$座標を，それぞれ，$\displaystyle\frac{1}{2}t,\ t,\ 2t (t>0)$とする$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$[イ]$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．
私立 早稲田大学 2011年 第2問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
私立 早稲田大学 2011年 第4問$a>0$とし，$x$-$y$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ 0)$，P$(x,\ y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，Pが
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．