楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

楕円$C:x^2+4y^2=4$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

$xyz$空間内の3点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{R}(t,\ t^2-t+1,\ 0)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)$K$の体積を求めよ．

楕円$C:x^2+4y^2=1$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

下図の平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=r \overrightarrow{\mathrm{AC}}+s \overrightarrow{\mathrm{AD}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t \overrightarrow{\mathrm{OF}} \]
をみたす実数$r,\ s,\ t$を求めよ．また，$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ．
(2)$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ．
(3)さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC},\ \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}$ならば，$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．

$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と，その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$\mathrm{O}$を考える．この円の半径を$r$とし，中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{u} \ (t>0)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ．
(3)円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ．
(4)円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．

次の条件を満たす三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．(1)，(2)，(3)それぞれの場合について，理由をつけて答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向い合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．また，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表す．

(1)$\displaystyle \frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$
(2)$\displaystyle \frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}$
(3)$\displaystyle \frac{b}{\cos A}=\frac{a}{\cos B}$

$\triangle \mathrm{ABC}$内に
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたす点$\mathrm{P}$があるとき，次の問に答えよ．ただし，比は最も簡単な整数の比で表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=m \overrightarrow{\mathrm{AB}}+ n \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$m,\ n$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，比$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$を求めよ．
(4)面積の比$\triangle \mathrm{PDC}:\triangle \mathrm{PCE}$を求めよ．

三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$は辺$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$の長さが$a$，$\angle \mathrm{A}_0=60^\circ$，$\angle \mathrm{B}_0=90^\circ$の直角三角形であり，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$は辺${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime$の長さが$a$，$\angle {\mathrm{A}_0}^\prime=45^\circ$，$\angle {\mathrm{B}_0}^\prime=90^\circ$の直角三角形である．右図に示すように三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$をとり，正方形$\mathrm{B}_0 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$を作る．次に，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$の$3$つの辺上に点$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$をとり，正方形$\mathrm{B}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$を作る．これを繰り返し，正方形$\mathrm{B}_{j-1} \mathrm{D}_j \mathrm{A}_j \mathrm{B}_j$を作る．その正方形の面積を$S_j$とおく．ただし，$j=1,\ 2,\ \cdots$である．同様な操作で，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$にも正方形${\mathrm{B}_{j-1}}^\prime {\mathrm{D}_j}^\prime {\mathrm{A}_j}^\prime {\mathrm{B}_j}^\prime$を作り，その正方形の面積を${S_j}^\prime$とおく．これらの図形について以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$S_1$を$a$を用いた式で示せ．
(2)$S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ．
(3)三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ．
(4)$\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は，収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さが，それぞれ$n-1$，$n$，$n+1$であるとする．ただし，$n$は$4$以上の整数である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さを$d$とする．

(1)$d$を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が偶数であることは，$d$の$2$乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．