「三角形」について
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国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
国立 富山大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．
国立 滋賀大学 2011年 第4問$a$を定数とする．空間内の4点A$(1,\ 0,\ 3)$，B$(0,\ 4,\ -2)$，C$(4,\ -3,\ 0)$，D$(-7+5a,\ 14-8a,\ z)$が同じ平面上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$z$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の値を変化させたとき，点Dは直線AB上の点Pおよび直線AC上の点Qを通る．P，Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を$S_1$，$\triangle$APQの面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$z$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の値を変化させたとき，点Dは直線AB上の点Pおよび直線AC上の点Qを通る．P，Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を$S_1$，$\triangle$APQの面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から対辺またはその延長線上に垂線$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$を下ろす．$\triangle \mathrm{DEF}$が正三角形となるとき，$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．