「三角形」について
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国立 富山大学 2011年 第3問実数$t$に対して，放物線$y=x^2$上の3点A$(t-1,\ (t-1)^2)$，B$(t,\ t^2)$，C$(t+1,\ (t+1)^2)$を頂点とする$\triangle$ABCを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle$ABCの外心の$x$座標を$p(t)$とおく．$p(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$p(t)$の極値を求めよ．
(1)$\triangle$ABCの外心の$x$座標を$p(t)$とおく．$p(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$p(t)$の極値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2011年 第1問三角形ABCにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-4,\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-5$をみたしている．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形ABCの辺BC，CAの長さを求めよ．
(3)三角形ABCの面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形ABCの辺BC，CAの長さを求めよ．
(3)三角形ABCの面積$S$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第3問平面上に$\triangle$ABCと点Pがある．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第2問平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第4問三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第4問三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第1問平面上に一辺の長さが1の正三角形OABと，辺AB上の点Cがあり，$\text{AC}<\text{BC}$とする．点Aを通り直線ABに直交する直線$k$と，直線OCとの交点をDとする．$\triangle$OCAと$\triangle$ACDの面積比が$1:2$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．