「三角形」について
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国立 静岡大学 2011年 第2問$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
国立 東京大学 2011年 第4問座標平面上の1点P$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle$PQRの重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第1問$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．
国立 大阪大学 2011年 第1問$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．
(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．
(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．
国立 金沢大学 2011年 第1問座標平面上に点$\mathrm{A}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{4}{3},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\sin \theta)$がある．ただし，$0 < \theta < \pi$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(\theta)$を求めよ．
(3)面積$S(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(\theta)$を求めよ．
(3)面積$S(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 広島大学 2011年 第4問平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．
国立 広島大学 2011年 第5問$\triangle$ABCの頂点は反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとする．点Aを出発した石が，次の規則で動くとする．\\
\quad コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする． \\
コインを$n$回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．また，$a_2,\ b_2,\ c_2$および$a_3,\ b_3,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$のうち2つの値が一致することを証明せよ．
(4)(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．
\quad コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする． \\
コインを$n$回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．また，$a_2,\ b_2,\ c_2$および$a_3,\ b_3,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$のうち2つの値が一致することを証明せよ．
(4)(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．
国立 広島大学 2011年 第4問平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をO，線分ABを$1:4$に外分する点をCとする．Pを直線AB上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|$で表せ．
(3)$\text{PA}=1,\ \triangle \text{PAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，PBの長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|$で表せ．
(3)$\text{PA}=1,\ \triangle \text{PAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，PBの長さを求めよ．
国立 九州大学 2011年 第1問放物線$y = x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第4問細長い長方形の紙があり，短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする．下図のように，この長方形の1つの角(かど)を反対側の長い方の辺に接するように折る．図に示した2つの三角形A，Bについて，次の問いに答えよ．
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）