三角形ABCの頂点A，B，Cは反時計回りに並んでいるものとする．点Pはいずれかの頂点の位置にあり，1枚の硬貨を1回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点Pは最初，頂点Aの位置にあったとする．硬貨を$n$回投げたとき，点Pが頂点Aの位置に戻る確率を$a_n$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$に対し$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ．
(2)$a_n$を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

実数$m$が$m>-1$を満たすとき，直線$\ell:y=mx$と放物線$C:y=x^2-x$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい．

内角がすべて$180^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．$\mathrm{G}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．
(3)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．
(4)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．

原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$がある．次の各問に答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．

右図のように$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の \\
二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAH}$，$\mathrm{AH}=1$とする． \\
$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$C_1$から始めて，$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接し，かつ，隣り \\
合う$2$円が互いに外接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を三角形の中に \\
作り，その半径を$r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots$，面積を$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とする． \\
このとき，次の各問に答えよ．
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(1)$r_1,\ r_2$の値を求めよ．
(2)数列$\{r_n\}$の一般項$r_n$を求めよ．
(3)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{6}{3-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$(x+2)^{12}$の展開式における最大の係数の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$4$，$5$，$6$である三角形に内接する円の半径を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{3\pi}{4}$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AC}$を$m:1-m$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<m<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．