次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．

(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．

(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．

(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．

(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[　]+[　] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[　]}{[　]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[　]}{[　]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[　]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．

空間内に，同じ平面上にない$4$つの点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{G}^\prime$とし，線分$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$なる定数である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の$[$1$]$から$[$10$]$に答えなさい．

このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}+[$3$] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{b}+[$6$] \overrightarrow{c}$である．また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=[$7$]$であり，線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$[$8$]:[$9$]$に内分する．さらに，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば，$|\overrightarrow{c}|=[$10$]$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は，実数$u,\ v,\ w$を用いて，
\[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \]
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表し，それぞれの対辺の長さを$a,\ b,\ c$で表す．

(1)$\displaystyle \frac{a+b}{c}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}$を示せ．

(2)$\displaystyle (a+b) \sin \frac{C}{2}=c \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$を示せ．

放物線$y=ax^2-6x+7$と直線$y=bx+c$が$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ d)$で交わっている．$a,\ b,\ c,\ d$を定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)この放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$1 \leqq x \leqq 4$の区間において放物線上を動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さを$x$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$3$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$4$とする．また，$\angle \mathrm{BCA}$を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$0^\circ<\theta<{180}^\circ$であることを用いて，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の直径が$5$であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=2$である．図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{B}$における接線上に$\mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(i) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ア][イ]$である．
(ii) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ウ][エ][オ]$である．
(iii) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[カ][キ][ク]$である．

(2)$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．

(i) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は
\[ [ア]<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<[イ] \]
である．
(ii) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき，
\[ \cos A=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]} \]
であり，
\[ \mathrm{BC}=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]} \]
である．

(3)座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．

(i) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは，
\[ m<-\frac{[ア]}{[イ]},\quad m>\frac{[ウ]}{[エ]} \]
のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ m>\frac{[オ]}{[カ]} \]
のときである．
(iii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<m \leqq \frac{[ケ][コ]}{[サ]} \]
のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]} \times \sqrt{[ツ]}$をとる．

台形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行であり，$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{BC}=3,\quad \mathrm{DA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BE}=1,\quad \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{3}{5} \]
とする．

(1)$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[$26$]}{[$27$]}$，$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{[$28$]}{[$29$]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$30$]}{[$31$]}$であり，三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$である．

(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AEB}=\frac{[$34$]}{[$35$]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{DAC}=\frac{[$36$]}{[$37$]}$である．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．