「三角形」について
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私立 昭和大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$で面積が$3+\sqrt{3}$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径
私立 昭和大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BO}=3$である．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CD}$および$\mathrm{BA}$をそれぞれ延長したときの交点を$\mathrm{E}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第2問$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\displaystyle \mathrm{AM}=\frac{2}{3}$となる点$\mathrm{M}$をとる．また，辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OP}=p (0<p<1)$となる点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ p$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となるような$p$の値を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
私立 法政大学 2012年 第3問四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．
(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2012年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
私立 法政大学 2012年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=3$，$\mathrm{AB}=4$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．
(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．
私立 関西学院大学 2012年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
私立 産業医科大学 2012年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．