座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 1)$がある．次の$[　]$をうめよ．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．

次の問に答えよ．

(1)次の等式が成り立つことを証明せよ．

(i) $\cos (\alpha+\beta+\gamma)+\cos (\alpha+\beta-\gamma)=2 \cos (\alpha+\beta) \cos \gamma$
(ii) $\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma=\frac{1}{4} \biggl\{ \cos (\alpha+\beta-\gamma)+\cos (\beta+\gamma-\alpha)$
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $+\cos (\gamma+\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta+\gamma) \biggr\}$

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \]
（注意）なお，次の公式を用いてもよい．
\[ \cos \theta_1+\cos \theta_2=2 \cos \frac{\theta_1+\theta_2}{2} \cos \frac{\theta_1-\theta_2}{2} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\tan A=-5$のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(3)$\tan A=a$のとき，$\sin A$の値を$a$を用いて表せ．

$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\angle \mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{AC}=2$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{AH}$を直径とする円の円周と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問に答えよ．

(1)円の直径を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする．

$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．

$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=\sqrt{30}$，$\mathrm{CA}=4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\sin A$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{F}$，重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{FH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を満たす点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．

次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$

(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．