次の問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

空間における$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 1,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$について，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ -3)$，$(0,\ -1)$，$(1,\ 6)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求め，さらにこの放物線の頂点の座標を求めよ．
(2)放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(t,\ t^2)$を通り，傾きが$m$であるような直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$が$C$と異なる$2$点で交わる条件を求め，このとき，点$\mathrm{A}$とは異なる交点$\mathrm{B}$の座標を$t$と$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \cos B=\frac{5}{6}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さ，および$\cos A$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

放物線$C:y=-x^2+9x$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+9t)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{Q}(9,\ 0)$に対して，三角形$\mathrm{PHQ}$の面積を$S_1$とする．ただし，$0<t<9$である．

(1)$S_1$を$t$を用いて表せ．
(2)$S_1$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$が上の(2)で求めた値をとるとき，$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$とする．これらの内積が$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-7$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=-4$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-6$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\cos A$，$\sin A$の値と三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$をそれぞれ求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{BN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．

角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$を次のようにとる．$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし，$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し，$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする．また，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし，$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

正九角形の頂点から$3$個を選んで三角形を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形はいくつできるか．
(2)互いに合同なものは同じ種類とするとき，異なる種類の三角形は何種類できるか．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．

(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．