$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

次の問いに答えよ．問い$(1)$～$(3)$については，$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)$x$の$2$次不等式
\[ 6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0 \]
をみたす整数$x$が$10$個となるように，正の整数$a$の値を定めると$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とし外心を$\mathrm{O}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす実数$s,\ t$の値は$s=[イ],\ t=[ウ]$である．
(3)袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$1$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉の個数を$X$とすると，$X=0$となる確率は$[エ]$であり，$X=2$となる確率は$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=|x^3|$が$x=0$で微分可能であるかどうか調べよ．

次の空欄$[ア]$から$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(経営学部III)および(人間環境学部III)\\
\quad 1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，2辺DH，GHの中点をそれぞれM，Nとおく．さらに，3つの線分AC，AM，ANが平面BDEと交わる点をそれぞれP，Q，Rとおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．

(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．

(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．

(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．

$n$を$2$以上の整数とする．

(1)平面上の平行な$2$直線上に，相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある．これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ．

(i) $n=5$のとき，この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり，選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある．
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある．
ただし，$[カ]$，$[キ]$については，以下の$①$～$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ．ここで，同じものを何回選んでもよい．
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある．これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ．

(i) $n=3$のとき，選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある．

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある．
(iii) $n=12$のとき，選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある．

$A=105^\circ$，$B=30^\circ$，$b=2\sqrt{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$について，つぎの問いに答えよ．ただし，$b$は辺$\mathrm{AC}$の長さを表すものとする．

(1)$\sin 105^\circ$の値を求めよ．
(2)外接円の半径，および，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に延ばした直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径が$3$のとき，$\mathrm{PC}$の長さを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6,\ A = 45^\circ,\ B = 75^\circ$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さおよび外接円の半径$R$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{BC}=15,\ \mathrm{CA} = 4,\ \mathrm{AB} = 13$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\cos A$および$\sin A$
(2)外接円の半径
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積および内接円の半径

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6,\ A = 45^\circ,\ B = 75^\circ$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さおよび外接円の半径$R$を求めよ．