「三角形」について
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私立 明治大学 2012年 第3問次の各設問の$[12]$から$[15]$までの空欄に適するものを書け．また，$[ ]$には数字を入れよ．
$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[ ]$である．
$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[ ]$である．
私立 法政大学 2012年 第2問$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上の点で，$\triangle \mathrm{ABD}$の$3$辺の長さの和が$10\sqrt{3}$，かつ$\sin \angle \mathrm{BAD} : \sin \angle \mathrm{ABD} : \sin \angle \mathrm{ADB}=4:5:6$を満たすとする．
(1)$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$2$つの線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$として，直線$\mathrm{OP}$が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{[(15)][(16)]}{[(17)][(18)]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{[(19)][(20)]}{[(21)][(22)]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表される．また三角形$\mathrm{OAF}$の面積を$S_1$とし，三角形$\mathrm{OFB}$の面積を$S_2$とするとき
\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{[(23)][(24)]}{[(25)][(26)]} \]
である．さらに三角形$\mathrm{POA}$の面積を$S_3$とし，三角形$\mathrm{PFB}$の面積を$S_4$とするとき
\[ \frac{S_4}{S_3} = \frac{[(27)][(28)]}{[(29)][(30)]} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{[(15)][(16)]}{[(17)][(18)]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{[(19)][(20)]}{[(21)][(22)]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表される．また三角形$\mathrm{OAF}$の面積を$S_1$とし，三角形$\mathrm{OFB}$の面積を$S_2$とするとき
\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{[(23)][(24)]}{[(25)][(26)]} \]
である．さらに三角形$\mathrm{POA}$の面積を$S_3$とし，三角形$\mathrm{PFB}$の面積を$S_4$とするとき
\[ \frac{S_4}{S_3} = \frac{[(27)][(28)]}{[(29)][(30)]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．
(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = [セ]$となる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=[ソ]$である．よって，$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると，$\overrightarrow{p} = [タ]$となる．
(3)正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=[チ]$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= [ツ]$であり，$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は[テ]である．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = [セ]$となる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=[ソ]$である．よって，$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると，$\overrightarrow{p} = [タ]$となる．
(3)正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=[チ]$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= [ツ]$であり，$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は[テ]である．
私立 上智大学 2012年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=[ア]$であり，$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである．
(2) $n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある．ただし，$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である．
(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=[ア]$であり，$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである．
(2) $n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある．ただし，$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において， $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$，内心を$\mathrm{Q}$とおく．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．
私立 東京理科大学 2012年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと
\[ \cos \theta = \frac{[ア]}{[イウ]} \sqrt{[エ]} \]
となる．\\
\quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{[オカ]}$である．
(2)線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$[キ]:[ク]$に内分する点である．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと
\[ \cos \theta = \frac{[ア]}{[イウ]} \sqrt{[エ]} \]
となる．\\
\quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{[オカ]}$である．
(2)線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$[キ]:[ク]$に内分する点である．
私立 明治大学 2012年 第1問次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．
(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．
(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．
私立 明治大学 2012年 第2問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．