右図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$をとる．$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$， \\
$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_{\mathrm{AB}}$，$S_{\mathrm{BC}}$，$S_{\mathrm{CA}}$とするとき，次の各問 \\
に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内心で，${S_{\mathrm{AB}}}^2+{S_{\mathrm{CA}}}^2={S_{\mathrm{BC}}}^2$が成り立つとき， \\
$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(2)${S_{\mathrm{AB}}}={S_{\mathrm{BC}}}={S_{\mathrm{CA}}}$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の重心であることを示せ．
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次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．

$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

$\angle$AOBが直角，$\text{OA}:\text{OB}=2:1$である三角形OABがある．$s$は$0<s<1$とし，辺ABを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，OPを$s:(1-s)$に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．