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京都大学 国立 京都大学 2016年 第4問
四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば,それは正四面体であることを示せ.

条件:頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る.

ただし,四面体のある頂点の対面とは,その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2016年 第3問
座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある.点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$(ただし,$t>0$)における$C$の接線を$\ell$とし,$\ell$が$x$軸,$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が,$y$軸,直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.

(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ.
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ.
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし,線分$\mathrm{PQ}$,$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする.$(2)$のとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.
京都大学 国立 京都大学 2016年 第3問
四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば,それは正四面体であることを示せ.

条件:頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る.

ただし,四面体のある頂点の対面とは,その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$が,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1+\sqrt{3}$,$\angle \mathrm{ACB}={45}^\circ$をみたすとする.

(1)$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とおくとき,$\sin \beta$および$\cos 2\beta$の値を求めよ.
(2)$(1)$の$\beta$の値をすべて求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき,次の問いに答えなさい.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ R$を用いて表しなさい.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と内接円の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第3問
$a$を$1<a<3$をみたす実数とし,座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える.直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$,$\mathrm{R}_2$,$\mathrm{R}_3$として,三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を最小にする$a$と,そのときの$S(a)$の値を求めよ.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2016年 第3問
座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある.$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ.
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$が最小になる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり,点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある.線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第3問
ひとつのサイコロを$3$回振り,出た目を順に$u,\ v,\ w$とする.そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$,$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める.このとき以下の問いに答えよ.ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする.

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第2問
$t$を$0<t<1$を満たす実数とする.面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$,$t:1-t$,$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.また,$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}$,$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$,$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$3$直線$\mathrm{AE}$,$\mathrm{BF}$,$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ.



以下,$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする.


\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$,$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ.
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ.
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2016年 第2問
$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える.また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.

ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
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