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九州大学 国立 九州大学 2015年 第1問
$C_1$,$C_2$をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする.

$C_1:y=-x^2+2x,\quad 0 \leqq x \leqq 2$
$C_2:y=-x^2-2x,\quad -2 \leqq x \leqq 0$

また,$a$を実数とし,直線$y=a(x+4)$を$\ell$とする.

(1)直線$\ell$と$C_1$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ.
以下,$a$が$(1)$の条件を満たすとする.このとき,$\ell$と$C_1$で囲まれた領域の面積を$S_1$,$x$軸と$C_2$で囲まれた領域で$\ell$の下側にある部分の面積を$S_2$とする.
(2)$S_1$を$a$を用いて表せ.
(3)$S_1=S_2$を満たす実数$a$が$\displaystyle 0<a<\frac{1}{5}$の範囲に存在することを示せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2012年 第3問
3点$\mathrm{P}(4,\ -5)$,$\mathrm{Q}(0,\ 3)$,$\mathrm{R}(7,\ 4)$を通る円を$C$とする.次の問いに答えよ.

(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて,$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り,傾き$m$の直線を$\ell$とする.直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ.
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき,直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し,その軌跡を求めよ.
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