「一般項」について
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国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしているとき$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_n+a_{n+1}-\frac{2n+1}{n(n+1)}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)数列$\{b_n\}$が次の条件を満たしているとき$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
\[ b_1=2,\quad b_n+b_{n+1}-\frac{2n+1}{n(n+1)}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしているとき$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_n+a_{n+1}-\frac{2n+1}{n(n+1)}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)数列$\{b_n\}$が次の条件を満たしているとき$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
\[ b_1=2,\quad b_n+b_{n+1}-\frac{2n+1}{n(n+1)}=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
国立 信州大学 2015年 第5問円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
国立 秋田大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．