「一般項」について
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国立 静岡大学 2015年 第1問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$がある．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問$r$を正の実数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-rx}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\displaystyle \lim_{r \to +0}rf(r)$を求めよ．
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-rx}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\displaystyle \lim_{r \to +0}rf(r)$を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n \]
で表されるとする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．
\[ S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n \]
で表されるとする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．
国立 熊本大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．
線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第2問初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．
(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．
(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
国立 徳島大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が次を満たす．
\[ S_n=\frac{1}{3}(2a_n+8a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
(1)$n \geqq 3$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$の式で表せ．
(2)$n \geqq 3$のとき，$a_n-2a_{n-1}$を$a_1$と$a_2$の式で表せ．
(3)$a_1=1$とする．一般項$a_n$を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{3}(2a_n+8a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
(1)$n \geqq 3$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$の式で表せ．
(2)$n \geqq 3$のとき，$a_n-2a_{n-1}$を$a_1$と$a_2$の式で表せ．
(3)$a_1=1$とする．一般項$a_n$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第1問等差数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\frac{1}{6},\quad \sum_{k=11}^{40}a_k=250 \]
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた値$N$に対して，和$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$を求めよ．
\[ a_1=\frac{1}{6},\quad \sum_{k=11}^{40}a_k=250 \]
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた値$N$に対して，和$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 愛媛大学 2015年 第3問$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[ ]^{[ ]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．
(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．