「一般項」について
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私立 龍谷大学 2016年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_{n+2}-a_n=3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．
(1)$b_1$を求めなさい．また，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
\[ a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_{n+2}-a_n=3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．
(1)$b_1$を求めなさい．また，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
私立 東京女子大学 2016年 第6問初項が$3$である数列$\{a_n\}$と，その階差数列$\{b_n\}$が，すべての自然数$n$に対して，条件$a_n-b_n=-1$をみたしている．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ．$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は等差数列で，初項と公差はともに正の整数$a$である．以下の$[ ]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
(1)この数列の一般項は，$a_n=[ ]$となる．ここで，$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$[ ]$となる．
(2)この数列が，ある番号$k (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする．
(i) $2016$を素因数分解すると$[ ]$となる．これを用いて，$a,\ k$を求めると，$(a,\ k)=([ ],\ [ ])$となる．
(ii) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が
\[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \]
を満たすとき，$a_{t+1}$の値は$[ ]$である．
(iii) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が
\[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \]
を満たすとき，$a_{s+5}$の値は$[ ]$である．
公立 横浜市立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第3問自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$は，初項から第$n$項までの和が次の$S_n$で与えられるとする．
\[ S_n=2-\frac{n+2}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n}{n},\quad c_n=na_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められるとする．以下の問題に答えよ．
(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(4)数列$\{c_n\}$について，$c_{n+1}$を$a_n$と$b_n$と$c_n$を用いて表せ．
(5)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$を求めよ．
\[ S_n=2-\frac{n+2}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n}{n},\quad c_n=na_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められるとする．以下の問題に答えよ．
(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(4)数列$\{c_n\}$について，$c_{n+1}$を$a_n$と$b_n$と$c_n$を用いて表せ．
(5)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$を求めよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．
(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．