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聖マリアンナ医科大学 私立 聖マリアンナ医科大学 2010年 第3問
数列$\{a_n\}$に対して,
\[ b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n},\quad c_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots +na_n}{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく.このとき下記の問いに答えなさい.

(1)数列$\{a_n\}$が,初項$1$,公比$2$の等比数列のとき,数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=[$1$]$である.
数列$\{b_n\}$の一般項は,$b_n=[$2$]$であり,数列$\{c_n\}$の一般項は,$c_n=[$3$]$である.
(2)数列$\{b_n\}$が,初項$1$,公差$2$の等差数列のとき,数列$\{b_n\}$の一般項は,$b_n=[$4$]$である.
数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=[$5$]$であり,数列$\{c_n\}$の一般項は,$c_n=[$6$]$である.
熊本県立大学 公立 熊本県立大学 2010年 第2問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$が$S_n=5^n-1$と表されるとき,この数列の一般項$a_n$を求めなさい.
高崎経済大学 公立 高崎経済大学 2010年 第1問
以下の各問に答えよ.

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け.
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき,$x^4+x^2$の値を求めよ.
(3)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ.
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ.
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき,$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ.
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき,不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2010年 第2問
数列$\{a_n\}$が,
\begin{eqnarray}
& & a_1=1 \nonumber \\
& & a_{n+1}=\frac{n}{n+5}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
で与えられている.数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\frac{n+4}{4}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)$b_n-b_{n+1}-a_n$を求めよ.
(3)$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$を$n$を用いて表せ.
(4)無限級数$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$の和を求めよ.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2010年 第2問
次の問いに答えよ.

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で,$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする.

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ.
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ.

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える.

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し,$a_n<3$が成り立つことを証明せよ.
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ.
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
熊本県立大学 公立 熊本県立大学 2010年 第2問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$が$S_n=5^n-1$と表されるとき,この数列の一般項$a_n$を求めなさい.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2010年 第4問
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表わす.

(1)すべての自然数$n$に対して,$S_n=2a_n-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ.
(2)すべての自然数$n$に対して,$S_n=a_n+n^2-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ.
(3)$a_1=1,\ a_2=1$とし,すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を満たす数列を$\{a_n\}$とする.このとき,すべての自然数$n$に対して,$S_n=a_{n+2}-1$および$S_n<3a_n$が成り立つことを示せ.
京都府立大学 公立 京都府立大学 2010年 第4問
$A$を成分が実数である2次の正方行列,$E$を2次の単位行列とする.数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める.$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく.また,座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める.以下の問いに答えよ.

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする.$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ.
(3)(2),かつ,$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき,$x_3,\ y_3$を求めよ.ただし,$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい.
(4)(3)のとき,$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2010年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.

\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき,$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ.ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする.
(3)$a$を正の実数とするとき,極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ.
岐阜薬科大学 公立 岐阜薬科大学 2010年 第1問
次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある.

$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

また,点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし,半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ.
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ.
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