次の問に答えよ．

(1)正四面体の$4$面を赤，青，黄，緑の$4$色すべてを使って塗り分ける方法は$2$通りある．ただし，正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．この$2$通りを図示せよ．
(2)立方体の$6$面を赤，青，黄，緑，紫，茶の$6$色すべてを使って塗り分ける．次の塗り分け方はそれぞれ何通りあるか求めよ．ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．

(i) 赤と青が隣り合う塗り方．
(ii) 赤と青が隣り合わない塗り方．

$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．


$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$

$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$


$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．

(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．

$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロがある．$\mathrm{A}$さんを含む$n$人に，ひとり一個ずつサイコロを渡し，同時に投げさせて，出た目の数の平均値を求める．

(1)$n=2$のとき，$\mathrm{A}$さんのサイコロの目が平均値と一致する確率を求めよ．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$さんのサイコロの目が平均値と一致する確率を求めよ．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$さんのサイコロの目が平均値と一致する確率を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える．ただし$a$と$t$は正の実数である．曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち，また，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け．
(2)$x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする．また，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め，また，$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 0),\quad \mathrm{B}(\cos 2t,\ \sin 2t),\quad \mathrm{C}(\cos (-t),\ \sin (-t)) \]
がある．ただし，$0<t<2\pi$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうち，少なくとも$2$点が一致するような$t$は全部で$[ミ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}\pi$である．

以下$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標がすべて異なる場合を考える．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$t$は全部で$[モ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]} \pi$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$[ヨ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ラ]}{[リ]} \pi$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$[ル]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]} \pi$である．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AP}=t$とする．点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$，辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と一致するとき，点$\mathrm{Q}$も点$\mathrm{A}$と一致し，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$と一致するとき，点$\mathrm{R}$も点$\mathrm{B}$と一致するものとする．

(1)$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{[サ]}{[シ]}t+[ス]$，$\displaystyle \mathrm{CR}=\frac{[セ]}{[ソ]}t+\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{QR}$は$t=[ツ]$のとき最大値$[テ] \sqrt{[ト]}$をとり，$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$をとる．
(3)$\triangle \mathrm{CQR}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$をとる．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．

(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．

$a>0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \]
とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分
\[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \]
の値を$a$を用いて表せ．

$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C \geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C \leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．