座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．

(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．

四角形ABCDに対して次の各問に答えよ．

(1)点Pを$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$となる点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)線分ACと線分BDが交わり，その交点が(1)の点Pと一致するとき，四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．

座標平面上に点A$(2,\ 0)$をとる．円$C:x^2+y^2=1$上の任意の点P$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0 \leqq \theta < 2\pi)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$上に点Qを直線AQと$\ell$が直交するようにとる．ただし，直線$\ell$が点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)点Qの座標を，$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR$(\theta)$とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R$(\theta)$は原点とする．このとき，点R$(\theta)$の軌跡は円になることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．

$a>5$とする．円$C:x^2+(y-a)^2=25$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は，円$C$を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の5倍に一致している．このとき，$a$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）

図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．

$a,\ b$は$a \neq b$を満たす定数とする．座標平面上に放物線$C_1$が$y=x^2+ax+b$で与えられ，放物線$C_2$が$y=x^2+bx+a$で与えられている．$C_1$上の点$\mathrm{P}(0,\ b)$での$C_1$の接線は，$C_2$上の点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接しているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4)放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-(x-a)^2+b$がある．$C_1$と$C_2$が点$(2,\ 4)$を共有し，その点における接線が一致するとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．このとき，$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積は$[　]$である．
(2)薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を開発し，$100$種類の病原体に対する有効性を調べた．薬剤$\mathrm{A}$は$36$種類，薬剤$\mathrm{B}$は$57$種類，薬剤$\mathrm{C}$は$24$種類の病原体にそれぞれ有効であった．また，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに有効であった病原体は$11$種類，薬剤$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$9$種類，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$8$種類であった．さらに，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれも有効でなかった病原体は$8$種類であった．以下の問に答えよ．

(i) すべての薬剤が有効である病原体は$[　]$種類である．
(ii) $2$種類の薬剤だけが有効な病原体は$[　]$種類である．
(iii) $1$種類の薬剤のみが有効な病原体は$[　]$種類である．