以下の各問いに答えなさい．

(1)次の値を求めなさい．

\mon[$①$] $_{7} \mathrm{P}_5$
\mon[$②$] $_{8} \mathrm{C}_3$

(2)$0$から$9$までの$10$個の数字から異なる$5$個の数字を選ぶクジがある．このクジでは，選んだ数字が当選番号の数字$5$個と一致した場合には$1$等の賞金，$5$個の内$3$個が一致した場合には$2$等の賞金がもらえる．このとき，以下の各問いに答えなさい．

\mon[$①$] $1$等の当たる確率を求めなさい．
\mon[$②$] $2$等の当たる確率を求めなさい．
\mon[$③$] $1$等の賞金を$63000$円，$2$等の賞金を$25200$円としたとき，このクジの期待値を求めなさい．

次の各問に答えよ．$(2)$は空欄にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．このとき，和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．また，$S_n$は
\[ S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が
\[ (*) \quad T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．もし，$\displaystyle T_1=\frac{1}{2}$ならば，$(*)$で$n=2$ととれば，$\displaystyle T_2=T_1=\frac{1}{2}$となる．同様に，$(*)$で$n=3,\ 4,\ \cdots$ととれば，$\displaystyle T_n=\frac{1}{2} (n=3,\ 4,\ \cdots)$となる．
いま，$\displaystyle T_n \neq \frac{1}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$U_n=1-2T_n$とおくと，$U_n$は漸化式$[ア]$を満たす．よって，$\displaystyle \frac{1}{U_1}=c (\neq 0)$とおけば，$U_n$は$n$と$c$を用いて，$U_n=[イ]$と表せる．これより，$b_1=[ウ]$，$b_n=[エ]$が得られ，$b_n$が$(1)$の$a_n$と一致するのは$c=[オ]$のときである．

$xy$平面上に$7$点$\mathrm{A}(-4,\ 1)$，$\mathrm{B}(-5,\ 0)$，$\mathrm{C}(-3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-2,\ 1)$，$\mathrm{E}(0,\ 2)$，$\mathrm{F}(0,\ 0)$，$\mathrm{G}(2,\ 0)$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$は右へ，三角形$\mathrm{EFG}$は左へ，それぞれ$x$軸に平行に毎秒$0.5$の速さで移動する．移動開始から$t$秒後の状況について，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{F}$が$t_1$秒後に点$\mathrm{C}$と，$t_2$秒後に点$\mathrm{B}$と一致した．$t_1$と$t_2$の値を求めよ．
(2)$t_1<t<t_2$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{EFG}$の重なる部分の面積$S$を$t$を用いて表し，$S$の最大値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は平行四辺形ではないとし，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．

(1)線分$\mathrm{PR}$の中点$\mathrm{K}$と線分$\mathrm{QS}$の中点$\mathrm{L}$は一致することを示せ．
(2)線分$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{M}$と線分$\mathrm{BD}$の中点$\mathrm{N}$を結ぶ直線は点$\mathrm{K}$を通ることを示せ．

袋A，袋Bのそれぞれに，1から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは一致していないとする．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \angle \mathrm{BPQ} = \frac{\pi}{3}$となるようにとり，線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$y$を$x$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を除いた円周$C$上を動くとき，$y$が最大となる$x$を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に放物線$C:y = -x^2$がある．$\mathrm{P}(a,\ b)$を$C$上の点とする．放物線$D : y =x^2+px+q$は点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$D$の接線は一致している．次の問いに答えよ．

(1)$b,\ p,\ q$をそれぞれ$a$で表せ．
(2)$a = 1$のとき，放物線$C$と$D$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b)$が放物線$C$上を動くとき，放物線$D$の頂点の軌跡を求めよ．

赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n \geqq 1$）行う． \\
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．

(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．