「一直線」について
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国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第4問$a>0$とし，$x$-$y$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ 0)$，P$(x,\ y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，Pが
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．
私立 上智大学 2011年 第2問底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．
(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．
(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．
公立 広島市立大学 2011年 第3問平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとるとき，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとるとき，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第7問座標平面に，一直線上にない3点O$(0,\ 0)$，P$(a,\ b)$，Q$(c,\ d)$がある．点P，Qは，
行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & m-1 \\
m & 1
\end{array} \right)$によってそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移され，3点O，P$^\prime$，Q$^\prime$も一直線上にないとする．
(1)$\triangle$OPQの面積$S$が$\displaystyle S=\frac{1}{2}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ．
(2)$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積が$\triangle$OPQの面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ．
行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & m-1 \\
m & 1
\end{array} \right)$によってそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移され，3点O，P$^\prime$，Q$^\prime$も一直線上にないとする．
(1)$\triangle$OPQの面積$S$が$\displaystyle S=\frac{1}{2}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ．
(2)$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積が$\triangle$OPQの面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ．
国立 滋賀大学 2010年 第2問$\mathrm{AD} \para \mathrm{BC},\ \mathrm{BC}=2 \mathrm{AD}$である四角形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{PQ}$が平行であることを示せ．
(2)3点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{D}$が一直線上にあることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{PQ}$が平行であることを示せ．
(2)3点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{D}$が一直線上にあることを示せ．
国立 防衛医科大学校 2010年 第4問座標平面上の原点O$(0,\ 0)$，点A$(1,\ 0)$，点B$(1,\ 1)$，点C$(0,\ 1)$および点P$(a,\ b)$に対して，点Pを原点のまわりに$90^\circ$回転した点をQ，点Qを点Aのまわりに$90^\circ$回転した点をR，点Rを点Bのまわりに$90^\circ$回転した点をS，また点Pを点Cのまわりに$-90^\circ$回転した点をUとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)点Uの座標を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{US}}$は$a,\ b$に無関係であることを示せ．
(4)3点B，R，Uが一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし，2点あるいは3点が重なっている場合も，3点は一直線上にあるものとする．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)点Uの座標を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{US}}$は$a,\ b$に無関係であることを示せ．
(4)3点B，R，Uが一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし，2点あるいは3点が重なっている場合も，3点は一直線上にあるものとする．
私立 東北学院大学 2010年 第2問一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分した点を，点$\mathrm{A}$に近い方から$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．また点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=l \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を満たすものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．