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旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2014年 第4問
一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$2$頭の象がいる.$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に,次のルールに従って移動する.

$0<p<1$とし,象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る.象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る.象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り,移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る.$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし,$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$a_1$を求めよ.
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき,$a_n$を求めよ.
大阪学院大学 私立 大阪学院大学 2012年 第3問
$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$4$個,$1$から$3$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$3$個,$1$から$2$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$2$個,合計$9$個の球がある.球の大きさはすべて同じである.次の場合の数を求めなさい.

(1)$9$個の球の中から$5$個の球を取り出す組合せの数
(2)$9$個の球の中から赤球を$2$個だけ含めて$5$個の球を取り出す組合せの数
(3)$9$個の球に書かれた数字をすべて消し,色だけに注目して$5$個の球を取り出す組合せの数
(4)$(3)$の条件で$5$個の球を取り出し,一列に並べる場合の数
首都大学東京 公立 首都大学東京 2011年 第3問
以下の問いに答えなさい.

(1)赤,白,黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり,一列に並べるものとする.合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい.なお,同じ色の玉は区別しないものとする.
(2)(1)の並べ方のうちで,先頭の$3$個の玉が同じ色であるか,末尾の$3$個の玉が同じ色であるか,少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい.
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$,$(x,\ y+1,\ z)$,$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる.最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を,$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち,$(3,\ 0,\ 0)$,$(0,\ 3,\ 0)$,$(0,\ 0,\ 3)$,$(3,\ 3,\ 0)$,$(3,\ 0,\ 3)$,$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい.
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「一列」とは・・・

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