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鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2016年 第5問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人がサイコロを振って一番大きな目が出た人を勝者とします.ただし,一番大きな目が出た人が$2$人以上いる場合は,その人たち全員を勝者とします.$1$回目で勝者が一人に決まらなかった場合には,勝者の間で再びサイコロを振って,同様の方法で勝者を決めるものとします.このとき次の問いに答えなさい.

(1)$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい.
(2)$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい.
(3)$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第4問
以下の問に答えなさい.

(1)次の値を求めなさい.

(i) $\perm{4}{2}$
(ii) $\comb{6}{4}$

(2)$3$人でじゃんけんをする.一度負けた者は次のじゃんけんから抜ける.最後の一人になるまでじゃんけんを繰り返し,最後に残った一人を優勝者とする.このとき,以下の確率を求めなさい.但し,あいこの場合も$1$回のじゃんけんと数える.

(i) $1$回目のじゃんけんで優勝者が決まる確率
(ii) $2$回目のじゃんけんで優勝者が決まる確率
(iii) $3$回目のじゃんけんで優勝者が決まる確率
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2010年 第4問
ある感染症の対策について考える.感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり,感染拡大は自然にはその感染症の感染力と,致死性によって予測される.感染経路は,飛沫,接触,飲食などいろいろあり,感染力の制御,つまり感染を広げないために,ワクチン開発はもちろんであるが,外出規制(イベントの自粛や学級閉鎖など),手洗い呼びかけ,などが有効である. \\
ここでは簡単のために,$1$つの感染症のみを考え,ある一定の集団(たとえば$1000$人程度の島)を対象とし,外部との接触,出入りがないと仮定する.最初の時点での過去感染者,未感染者,現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする.現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり,一度感染した人はもう感染しない.また幸いなことにこの感染により死者は生じず,また簡単のために他要因による死者,あるいは出生,転入出もないとする. \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし,$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す.症状は丁度$1$か月続くので,一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである. \\
過去感染者は,それまでの過去感染者に,$1$か月前の現在感染者を足したものである.また,現在感染者は,$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と,この感染症の感染力によって決まる.接触頻度の係数を$a$,感染力の係数を$b$とすると,現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合,未感染者の割合,$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる. \\
$x_0=0$,$y_0=0.9$,$z_0=0.1$として,以下の問いに答えよ.計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ.

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を,$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ.
(2)$a=1,\ b=1$として,$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ.
(3)$a=1$,感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ.
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして,$a=0.5$,$b=1$とした時の,$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め,(2),(3)の結果と共に,縦軸を過去感染者の割合,横軸を時間として,$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ.
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