座標平面において，円$A$
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．

(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．

1から$n$までの数字がもれなく一つずつ書かれた$n$枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率を$p(n)$とする．

(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．

図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって， \\
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
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(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．

2次関数$y=x^2$のグラフを$C$とし，2次関数$y=-x^2$のグラフを$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$D$を$x$軸方向に3，$y$軸方向に5だけ平行移動したグラフを$E$とする．$C$と$E$の交点を求めよ．
(2)$D$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したグラフを$F$とする．$C$と$F$がただ一つの共有点をもつとき，共有点の座標を$p$を用いて表せ．

$k$を実数とする．$f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1$について以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

$a,\ k$は定数であり，$0<k<1$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．

平面上に半径1の円$C$がある．この円に外接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例1）のように配置し，その一つの円の半径を$R_n$とする．また，円$C$に内接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例2）のように配置し，その一つの円の半径を$r_n$とする．ただし，$n \geqq 3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．

\setlength\unitlength{1truecm}

\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}

空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．

(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．

一つの箱の中に$+1,\ 0,\ -1$と数が書かれたカードがそれぞれ$3$枚，$2$枚，$1$枚の計$6$枚入っていて，その箱から$3$枚のカードを同時に取り出す．

(1)取り出したカードに書いてある数の和が$0$になる確率を求めよ．
(2)取り出したカードに書いてある数を$a,\ b,\ c$とするとき，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$である確率を求めよ．
(3)取り出したカードに書いてある数の和の期待値を求めよ．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=2x^3+ax^2-4ax+\frac{7}{3}a$が極大値と極小値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．