「一つ」について
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私立 東京理科大学 2014年 第4問$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．
(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．
このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．
(1)$r=2$とする．
(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$，$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である．
一般に，$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である．
(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$，$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である．
一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．
(2)$r=3$とする．
(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である．
(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．
(3)$r=4$とする．
(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である．
(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．
(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．
このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．
(1)$r=2$とする．
(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$，$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である．
一般に，$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である．
(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$，$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である．
一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．
(2)$r=3$とする．
(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である．
(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．
(3)$r=4$とする．
(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である．
(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．
公立 大阪府立大学 2014年 第5問$0<x \leqq 2\pi$において定義された関数$\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{x}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$h(x)$の最小値を与える$x$がただ一つ存在することを示せ．
(2)$h(x)$の最小値を与える$x$の値を$b$とおく．次の定積分を求めよ．
\[ \int_\pi^b x^2h(x) \, dx \]
(3)$b$は$\displaystyle \frac{17}{12} \pi<b<\frac{3}{2} \pi$をみたすことを示せ．
(1)$h(x)$の最小値を与える$x$がただ一つ存在することを示せ．
(2)$h(x)$の最小値を与える$x$の値を$b$とおく．次の定積分を求めよ．
\[ \int_\pi^b x^2h(x) \, dx \]
(3)$b$は$\displaystyle \frac{17}{12} \pi<b<\frac{3}{2} \pi$をみたすことを示せ．
公立 宮城大学 2014年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$，$\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に記せ．ただし，証明は不要である．
(3)平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．
（図は省略）
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$，$\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に記せ．ただし，証明は不要である．
(3)平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．
（図は省略）
公立 秋田県立大学 2014年 第1問二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2013年 第3問$a$を自然数とする．赤球$3$個，白球$a$個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての球を取り出すまで繰り返す．ただし，取り出した球は元に戻さない．このとき，$2$個目の赤球が出る前までに取り出した球の数を$X$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a=4$とする．$3$番目までに赤球が$1$個だけ出て，$4$番目が赤球である確率を求めよ．
(2)$X=n$となる確率を$p_n$とする．$p_n$が最大となる$n$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$X$の期待値を求めよ．
(1)$a=4$とする．$3$番目までに赤球が$1$個だけ出て，$4$番目が赤球である確率を求めよ．
(2)$X=n$となる確率を$p_n$とする．$p_n$が最大となる$n$の値を$a$を用いて表せ．
(3)$X$の期待値を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第2問図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
国立 旭川医科大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．
(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2013年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
私立 大阪歯科大学 2013年 第1問以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
国立 旭川医科大学 2012年 第4問曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]