$xy$平面上の点Aを次のルール($*$)に従って動かす試行を繰り返す．
\[ (*) \left\{
\begin{array}{l}
1 \text{個のさいころを投げ，} \\
(\text{A}) \; \text{1または2の目が出たとき，} \ x \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{B}) \; \text{3または4の目が出たとき，} \ y \text{軸の正の方向に1動かす．} \\
(\text{C}) \; \text{5または6の目が出たとき，動かさない．}
\end{array}
\right. \]
Aは始め原点Oにある．直線$x+y=3$を$\ell$として，次の問いに答えよ．

(1)5回の試行後，Aが$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対し，$n$回の試行後，Aが$\ell$上にある確率を求めよ．
(3)Aが$\ell$上に来たとき，または(C)が合計2回生じたとき，試行を終了する．

(4)Aが$\ell$上に来て試行が終了する確率を求めよ．
(5)終了までの試行回数の期待値を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$2^k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)

$n$を自然数とし，$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．さらに，$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$\displaystyle p=\frac{3}{4}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]