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私立 立教大学 2015年 第3問座標平面上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}(-1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(1,\ 2)$とする．点$\mathrm{A}$が点$(1,\ 0)$から出発し，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周$C$上を次のルールで動くとする．
【ルール】
\begin{itemize}
$1$個のさいころを$1$回投げて$1$回の試行とする．
$a$の目が出たら，反時計回りに$a \times {30}^\circ$回転する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(3)$2$回の試行を行う．$2$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となる確率を求めよ．
(4)$3$回の試行を行う．$3$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となる確率を求めよ．
【ルール】
\begin{itemize}
$1$個のさいころを$1$回投げて$1$回の試行とする．
$a$の目が出たら，反時計回りに$a \times {30}^\circ$回転する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となるような$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．
(3)$2$回の試行を行う．$2$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$が直角三角形となる確率を求めよ．
(4)$3$回の試行を行う．$3$回の試行の後，三角形$\mathrm{PQA}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$となる確率を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$[ ]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
国立 旭川医科大学 2014年 第4問一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$2$頭の象がいる．$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に，次のルールに従って移動する．
$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき，$a_n$を求めよ．
$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき，$a_n$を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第4問$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
国立 愛媛大学 2014年 第5問$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．
(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．
(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．
(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．
(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．
(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．
(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．
(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．
(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$1$個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えていく．
{\bf ルール}
$1,\ 2,\ 3$の目のどれかが出たとき，持ち点に$1$点を加える．
$4,\ 5$の目のどちらかが出たとき，持ち点に$2$点を加える．
$6$の目が出たとき，持ち点をすべて失い$0$点とする．
いま，はじめの持ち点は$0$点とする．
(1)さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$[ケ]$である．
(2)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$[コ]$である．
(3)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$[サ]$である．
(4)さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$\displaystyle P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=[シ]$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=[ス]$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=[セ]$となる．
{\bf ルール}
$1,\ 2,\ 3$の目のどれかが出たとき，持ち点に$1$点を加える．
$4,\ 5$の目のどちらかが出たとき，持ち点に$2$点を加える．
$6$の目が出たとき，持ち点をすべて失い$0$点とする．
いま，はじめの持ち点は$0$点とする．
(1)さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$[ケ]$である．
(2)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$[コ]$である．
(3)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$[サ]$である．
(4)さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$\displaystyle P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=[シ]$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=[ス]$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=[セ]$となる．
私立 龍谷大学 2014年 第3問図のようなマス目で，初めに$\mathrm{S}$のマスにコマを置く．さいころをふり，下のルールに従ってコマを動かして，得点するゲームを行う．なお，$\mathrm{G}$のマスに入ったらゲームを終了する．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
私立 早稲田大学 2014年 第1問下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2014年 第1問下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
私立 東京理科大学 2014年 第1問白，赤，黄，緑の$4$色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$，それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．
$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．
(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，
$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$
である．
(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．
$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．
(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，
$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$
である．