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千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
数直線上の点$\mathrm{Q}$は,はじめは原点$x=0$にあり,さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する.$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき,
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる.
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く.
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る($a=0$ならば動かない).
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して,さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ.
(2)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ.
(3)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
数直線上の点$\mathrm{Q}$は,はじめは原点$x=0$にあり,さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する.$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき,
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる.
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く.
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る($a=0$ならば動かない).
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して,さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ.
(2)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ.
(3)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
数直線上の点$\mathrm{Q}$は,はじめは原点$x=0$にあり,さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する.$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき,
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる.
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く.
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る($a=0$ならば動かない).
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して,さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ.
(2)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ.
(3)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第6問
数直線上の点$\mathrm{Q}$は,はじめは原点$x=0$にあり,さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する.$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき,
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる.
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く.
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る($a=0$ならば動かない).
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して,さいころを$3$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ.
(2)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ.
(3)さいころを$n$回投げたとき,$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第4問
$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある.これらから$4$枚を選び,横$1$列に並べる.並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく.このとき,次の問に答えよ.

(1)カードの並べ方の総数を求めよ.
(2)次のルールのもとで,$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ.
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば,$b$と$c$のカードを捨てる.
$a<b<d<c$ならば,$b$と$d$のカードを捨てる.
$b<a<c<d$ならば,$a$と$c$のカードを捨てる.
$b<a<d<c$ならば,$a$と$d$のカードを捨てる.
その他は何も捨てない.
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで,何も捨てない確率を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2016年 第4問
$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある.これらから$4$枚を選び,横$1$列に並べる.並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく.このとき,次の問に答えよ.

(1)カードの並べ方の総数を求めよ.
(2)次のルールのもとで,$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ.
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば,$b$と$c$のカードを捨てる.
$a<b<d<c$ならば,$b$と$d$のカードを捨てる.
$b<a<c<d$ならば,$a$と$c$のカードを捨てる.
$b<a<d<c$ならば,$a$と$d$のカードを捨てる.
その他は何も捨てない.
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで,何も捨てない確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第6問
ある人が破産したとき,すなわち,借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき,その人の財産(現在残っているものをお金にしたもの)の総額$A$を$n$人の債権者(お金を貸した人)にどう分配するかについて考える.債権者には債権額(貸したお金の額)の少ない順に番号が振られており,第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると,$B_i<B_{i+1} (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている.また,$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき,$A<B$である.以下では$A=B$のときを含めて,第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を,$B_i$の状況に応じて,次のルールに従って決める.


\mon[ケース$1$:] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは,$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
\mon[ケース$2$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$3$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$4$:] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは,$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.


(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき,$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば,$X_1=30$となる.また,$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは,$A$の値が$2$通りあり,小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である.
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき,$A=100$ならば,$X_2=[$97$][$98$][$99$]$,$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり,$A=220$ならば,$X_2=[$103$][$104$][$105$]$,$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である.
札幌医科大学 公立 札幌医科大学 2016年 第3問
$2$種類の文字「$\mathrm{A}$」,「$\mathrm{B}$」を$1$つずつ左から右に書いていく.書かれる文字が$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かは確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で決まるものとする.しかし,次の$2$つのルールにより文字が消去されることがある:

\mon[$1.$] 右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合,その$\mathrm{B}$は確率$\displaystyle \frac{2}{3}$で消去される
\mon[$2.$] 右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合,それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\maruA$と呼ぶ.この状況で,右端の$\mathrm{B}$の右隣に$\mathrm{A}$が書かれる場合,確率$\displaystyle \frac{2}{3}$でその$\mathrm{A}$と$\maruA$より右側のすべての文字が消去される(ただし$\maruA$は消去されない).

上記$2$つのルールにあてはまらない場合は,消去される文字はないものとする.$n$文字を書いたときに,実際に残っている文字数を$a_n$とする.例えば,$3$文字を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」,「$\mathrm{AA}$」,「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる.

(1)$a_3=2$となる確率を求めよ.
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ.
(3)$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2015年 第3問
座標平面上に点$\mathrm{P}$があり,次のルールにより,点$\mathrm{P}$は移動する.

$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から,$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み,その文字が

$a$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し,
$b$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し,
$c$のとき,点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する.

最初,点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする.この試行を,取り出した球を元に戻しながら,$5$回続けて行う.例えば,これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば,上のルールにより,点$\mathrm{P}$の位置の座標は,
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する.
このとき,次の各問に答えよ.

(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合,終了したときの位置の座標をすべて求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ.
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$,$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2015年 第2問
座標平面上に点$\mathrm{P}$があり,次のルールにより,点$\mathrm{P}$は移動する.

$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から,$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み,その文字が

$a$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し,
$b$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し,
$c$のとき,点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する.

最初,点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする.この試行を,取り出した球を元に戻しながら,$5$回続けて行う.例えば,これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば,上のルールにより,点$\mathrm{P}$の位置の座標は,
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する.
このとき,次の各問に答えよ.

(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合,終了したときの位置の座標をすべて求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ.
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$,$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ.
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「ルール」とは・・・

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