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国立 千葉大学 2016年 第2問数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第2問数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第2問数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第6問数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}
(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
(1)カードの並べ方の総数を求めよ．
(2)次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．
\begin{itemize}
$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．
$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．
$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．
$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．
その他は何も捨てない．
\end{itemize}
(3)$(2)$のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第6問ある人が破産したとき，すなわち，借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき，その人の財産（現在残っているものをお金にしたもの）の総額$A$を$n$人の債権者（お金を貸した人）にどう分配するかについて考える．債権者には債権額（貸したお金の額）の少ない順に番号が振られており，第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると，$B_i<B_{i+1} (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている．また，$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき，$A<B$である．以下では$A=B$のときを含めて，第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を，$B_i$の状況に応じて，次のルールに従って決める．
\mon[ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
\mon[ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である．
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=[$97$][$98$][$99$]$，$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり，$A=220$ならば，$X_2=[$103$][$104$][$105$]$，$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である．
\mon[ケース$1$：] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは，$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
\mon[ケース$2$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$3$：] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする．
\mon[ケース$4$：] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは，$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする．
(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき，$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である．
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=[$97$][$98$][$99$]$，$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり，$A=220$ならば，$X_2=[$103$][$104$][$105$]$，$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である．
公立 札幌医科大学 2016年 第3問$2$種類の文字「$\mathrm{A}$」，「$\mathrm{B}$」を$1$つずつ左から右に書いていく．書かれる文字が$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かは確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で決まるものとする．しかし，次の$2$つのルールにより文字が消去されることがある：
\mon[$1.$] 右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合，その$\mathrm{B}$は確率$\displaystyle \frac{2}{3}$で消去される
\mon[$2.$] 右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合，それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\maruA$と呼ぶ．この状況で，右端の$\mathrm{B}$の右隣に$\mathrm{A}$が書かれる場合，確率$\displaystyle \frac{2}{3}$でその$\mathrm{A}$と$\maruA$より右側のすべての文字が消去される（ただし$\maruA$は消去されない）．
上記$2$つのルールにあてはまらない場合は，消去される文字はないものとする．$n$文字を書いたときに，実際に残っている文字数を$a_n$とする．例えば，$3$文字を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」，「$\mathrm{AA}$」，「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる．
(1)$a_3=2$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ．
\mon[$1.$] 右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合，その$\mathrm{B}$は確率$\displaystyle \frac{2}{3}$で消去される
\mon[$2.$] 右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合，それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\maruA$と呼ぶ．この状況で，右端の$\mathrm{B}$の右隣に$\mathrm{A}$が書かれる場合，確率$\displaystyle \frac{2}{3}$でその$\mathrm{A}$と$\maruA$より右側のすべての文字が消去される（ただし$\maruA$は消去されない）．
上記$2$つのルールにあてはまらない場合は，消去される文字はないものとする．$n$文字を書いたときに，実際に残っている文字数を$a_n$とする．例えば，$3$文字を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」，「$\mathrm{AA}$」，「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる．
(1)$a_3=2$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．